Есть три коробки: в первой коробке 112 камней, во второй – 99, в третья – пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 103 камня, во второй – 99, в третьей – 9?
б) Могло ли в третьей коробке оказаться 211 камней?
в) Во второй коробке оказалось 4 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Источник: Ященко ЕГЭ 2023 (36 вар)

Решение:

    На каждом ходе происходит следующее, в двух коробках по –1 камню, в одной коробке +2 камня.
а) Да, могло. Например:

1 коробка2
коробка
3
коробка
 
112990 
–1–1+26 раз 
1069312 
–1+2–1 3 раза
103999 

б) Нет, не могло.
   
Если в 1-й и 2-й коробке выполнять действия –1 и –1, то разница в камнях между коробками не изменится. Если для этих коробок выполнять действие –1 и –2 или –2 и –1, то разница в камнях изменяется на 3. Значит, какие бы действия не выполнялись с коробками разница камней между 1-й и 2-й коробкой всегда будет давать одинаковый остаток при делении на 3.
    Изначально в коробках 112 и 99 камней, их разница:

112 – 99 = 13

    Остаток от деления на 3:

\frac{13}{3}=4\frac{\color{Green} 1}{3}

    Если в третьей коробке 211 камней, то во всех остальных коробках по 0 камней, т.к. изначально всего камней в коробках было:

112 + 99 + 0 = 211

    Разница камней 1-й и 2-й коробки:

0 – 0 =

    Остаток от деления на 3:

\frac{0}{3}=\color{Green} 0

    А должен быть остаток 1, получили противоречие.

в) Во 2-й коробке 4 камня, подберём в 1-ю коробку наименьшее количество камней (что бы в 3-й коробке осталось набольшее количество камней), что бы разница давала при делении на 3 остаток 1
    Например:

1-я коробка = 5
2-я коробка = 4
Разница: 5 – 4 = 1
Остаток от деления на 3: 1

    Если из 1-й коробки убрать 3 камня, то остаток снова станет 1 (через каждые 3 камня остаток повторяется):

1-я коробка = 2
2-я коробка = 4
Разница: 2 – 4 = –2
Остаток от деления на 3 (остаток не может быть отрицательным): 

\frac{–2}{3}=\frac{–3+1}{3}=\frac{–3}{3}+\frac{1}{3}=остаток\: 0+остаток \:\color{Green} 1

    Меньше камней в 1-й коробке быть не может. Тогда в 3-й коробке:

211 – 2 – 4 = 205

1 коробка2
коробка
3
коробка
 
112990 
–1–1+210 раз 
1028920 
–1+2–1 5 раз
979915 
–1  –1 +2 95 раз
 2 4 205 

Ответ: а) да, б) нет, в) 205.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 2 / 5. Количество оценок: 5

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.