Решение №3096 Есть три коробки: в первой коробке 112 камней, во второй – 99, в третья – пустая.

Решение:

    На каждом ходе происходит следующее, в двух коробках по –1 камню, в одной коробке +2 камня.
а) Да, могло. Например:

б) Нет, не могло.
    Если в 1-й и 2-й коробке выполнять действия –1 и –1, то разница в камнях между коробками не изменится. Если для этих коробок выполнять действие –1 и –2 или –2 и –1, то разница в камнях изменяется на 3. Значит, какие бы действия не выполнялись с коробками разница камней между 1-й и 2-й коробкой всегда будет давать одинаковый остаток при делении на 3.
    Изначально в коробках 112 и 99 камней, их разница:

112 – 99 = 13

    Остаток от деления на 3:

\frac{13}{3}=4\frac{\color{Green} 1}{3}

    Если в третьей коробке 211 камней, то во всех остальных коробках по 0 камней, т.к. изначально всего камней в коробках было:

112 + 99 + 0 = 211

    Разница камней 1-й и 2-й коробки:

0 – 0 = 0 

    Остаток от деления на 3:

\frac{0}{3}=\color{Green} 0

    А должен быть остаток 1, получили противоречие.

в) Во 2-й коробке 4 камня, подберём в 1-ю коробку наименьшее количество камней (что бы в 3-й коробке осталось набольшее количество камней), что бы разница давала при делении на 3 остаток 1. 
    Например:

1-я коробка = 5
2-я коробка = 4
Разница: 5 – 4 = 1
Остаток от деления на 3: 1

    Если из 1-й коробки убрать 3 камня, то остаток снова станет 1 (через каждые 3 камня остаток повторяется):

1-я коробка = 2
2-я коробка = 4
Разница: 2 – 4 = –2
Остаток от деления на 3 (остаток не может быть отрицательным): 

\frac{–2}{3}=\frac{–3+1}{3}=\frac{–3}{3}+\frac{1}{3}=остаток\: 0+остаток \:\color{Green} 1

    Меньше камней в 1-й коробке быть не может. Тогда в 3-й коробке:

211 – 2 – 4 = 205

Ответ: а) да, б) нет, в) 205.