Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 8 раз больше, либо в 8 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4040.

а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из четырёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Источник: Ященко ЕГЭ 2023 (36 вар)

Решение:

а) Пусть первый член последовательности равен х, тогда сумма последовательности из 3-х членов, может выглядеть следующим образом:

х + 8·х + х = 10х

    По условию сумма равна 4040:

10х = 4040
х = 4040/10 = 404

    Делится нацело, значит последовательность может состоять из 3-х членов:

х1 = 404
х2 = 8·404 = 3232
х3 = 404

х1 + х2 + х3 = 404 + 3232 + 404 = 4040

б) В последовательности с чётным количеством членов, если сгруппировать подряд по два члена последовательности, их можно представить в виде 8х + х или х + 8х, их сумма 9х, делится нацело на 9, сумма каждой такой пары последовательности делится на 9, значит и сумма всей последовательности делится на 9
    4 это чётное количество членов, сумма такой последовательности делится на 9, а 4040 не делится нацело на 9, значит последовательность не может состоять из четырёх членов.

в) Возьмём самые маленькие первый член последовательности, которые будут чередоваться, это 1 и 8.
    Тогда последовательность с наименьшими членами может выглядеть следующим образом (одинаковое количество 1 и 8 быть не может, следует из пункта б):

1 + 8 + 1 + 8 + … + 1 (на одну 1 больше)
8 + 1 + 8 + 1 + … + 8 (на одну 8 больше)

    Сумма членов в каждом из них равна (а и b – количество 8 в каждой из последовательностей):

1·(а + 1) + 8·a = a + 1 + 8a = 9a + 1
9a + 1 = 4040
9a = 4040 – 1
9а = 4039
а = 4039/9 не делится

b + 1·(b – 1) = 8b + 1b – 1 = 9b – 1 
9a – 1 = 4040
9a = 4040 + 1
9а = 4041
а = 4041/9 = 449

    Значит в последовательности 449 восьмёрок и 449 – 1 = 448 единиц, всего членов:

449 + 448 = 897

Ответ: а) да; б) нет; в) 897.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.5 / 5. Количество оценок: 2

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.