Найдите трёхзначное число, кратное 11, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Источник: statgrad
Решение:
Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечётных местах, и суммы цифр, стоящих на чётных местах, равна 0 или делится на 11.
Для трёхзначного числа abc: a + c – b должно быть кратно 11. Т.е. a + c – b должно быть равно, например, …–22, –11, 0, 11, 22… Т.к. цифры могут быть от 0 до 9 и должны быть все разные, то a + c – b = 0 или a + c – b = 11.
Попробуем взять все три цифры, которые делятся на 3, a + c – b = 0, при a = 3, c = 6, b = 9. Проверим сумму квадратов:
32 + 92 + 62 = 9 + 81 + 36 = 126
126 делится на 3,
126 делится на 9 – не подходит
Теперь возьмём цифры, которые не делятся на 3. a + c – b = 0, при a = 1, c = 4, b = 5. Проверим сумму квадратов:
12 + 52 + 42 = 1 + 25 + 16 = 42
42 делится на 3,
42 не делится на 9 – подходит
В ответ пишем число 154.
Ответ: 154.