15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму A млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно A, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей?
Источник: fipi
Решение:
Обозначим:
А = S млн. рублей – сумма кредита в банке на 24 месяца;
3% = 0,03 – процент на который возрастает долг каждый месяц.
Разберёмся сколько мы будем выплачивать каждый месяц.
«15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.»
Это означает, что каждый месяц мы должны выплачивать часть начального долга (S поделить на количество месяцев, т.е \frac{S}{24}) + начисленные % за этот месяц (0,03·долг). Задача на дифференцированный платёж.
Составим таблицу:
| Месяц | Долг | Платёж | Долг после платежа | |
| на 15 число месяца, до % | 1 число месяца, после % | |||
| 1 | S | S + 0,03·S | \frac{S}{24} + 0,03·S | S + 0,03·S – (\frac{S}{24} + 0,03·S) = \frac{23\cdot S}{24} |
| 2 | \frac{23\cdot S}{24} | \frac{23\cdot S}{24} + 0,03·\frac{23\cdot S}{24} | \frac{S}{24} + 0,03·\frac{23\cdot S}{24} | \frac{23\cdot S}{24} + 0,03·\frac{23\cdot S}{24} – (\frac{S}{24} + 0,03·\frac{23\cdot S}{24}) = \frac{22\cdot S}{24} |
| 3 | \frac{22\cdot S}{24} | \frac{22\cdot S}{24} + 0,03·\frac{22\cdot S}{24} | \frac{S}{24} + 0,03·\frac{22\cdot S}{24} | \frac{22\cdot S}{24} + 0,03·\frac{22\cdot S}{24} – (\frac{S}{24}+ 0,03·\frac{22\cdot S}{24}) =\frac{21\cdot S}{24} |
| … | … | … | … | … |
| 12 | \frac{13\cdot S}{24} | \frac{13\cdot S}{24} + 0,03·\frac{13\cdot S}{24} | \frac{S}{24} + 0,03·\frac{13\cdot S}{24} | \frac{13\cdot S}{24} + 0,03·\frac{13\cdot S}{24} – (\frac{S}{24}+ 0,03·\frac{13\cdot S}{24}) = \frac{12\cdot S}{24} |
| 13 | \frac{12\cdot S}{24} | \frac{12\cdot S}{24} + 0,03·\frac{12\cdot S}{24} | \frac{S}{24} + 0,03·\frac{12\cdot S}{24} | \frac{12\cdot S}{24} + 0,03·\frac{12\cdot S}{24} – (\frac{S}{24}+ 0,03·\frac{12\cdot S}{24}) = \frac{11\cdot S}{24} |
| … | … | … | … | … |
| 24 | \frac{S}{24} | \frac{S}{24} + 0,03·\frac{S}{24} | \frac{S}{24} + 0,03·\frac{S}{24} | 0 |
Сложим все платежи за 2028 год, т.е. последние 12 месяцев:
\frac{S}{24}+ 0,03·\frac{12\cdot S}{24}+\frac{S}{24}+ 0,03·\frac{11\cdot S}{24}+\frac{S}{24}+ 0,03·\frac{10\cdot S}{24}+…+\frac{S}{24}+ 0,03·\frac{ S}{24}
Сложив все \frac{S}{24} получим ровно \frac{12S}{24}. А у % вынесем общий множитель, по условию, это всё равно 17 925 тыс. рублей:
\frac{12S}{24}+ 0,03\cdot S\cdot (\frac{12}{24}+\frac{11}{24}+\frac{10}{24}+…+\frac{1}{24})=17 925\\\frac{12S}{24}+ 0,03\cdot S\cdot \frac{78}{24}=17 925\\\frac{S}{2}+ 0,03\cdot S\cdot \frac{39}{12}=17 925{\color{Blue}| \cdot 12}\\6\cdot S+0,03\cdot S\cdot 39=17 925\cdot 12{\color{Blue}|: 3}\\2\cdot S+0,01\cdot S\cdot 39=17 925\cdot 4\\2,39S=71700\\S=71700/2,39\\S=30000\:тыс.руб
Т.к. сумма платежей за 2028 год в уравнении была в тыс. рублей, значит и S получили в тыс. рублей, переведём в млн. рублей:
S = 30000 тыс. руб. = 30 млн. руб.
Ответ: 30 млн. руб.