15-го декабря планируется взять кредит в банке на 700 тысяч рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– 15-го числа n-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;
– к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 755 тысяч рублей.
Источники: Основная волна ЕГЭп2025 День 1
Решение:
% каждый месяц = 1% = 0,01;
х тыс. рублей – сумма на которую долг уменьшается каждый месяц с 1-го по n-й.
| Месяц | Долг после начисления %, 1 число месяца, в тыс. рублей | Выплаты, 2-14 число месяца (% + x), в тыс. рублей | Остаток долга, 15 число месяца, в тыс. рублей |
| 700 | |||
| 1 | 700 + 700·0,01 | 700·0,01 + x | 700 – x |
| 2 | 700 – x + (700 – x)·0,01 | (700 – x)·0,01 + x | 700 – 2x |
| 3 | 700 – 2x + (700 – 2x)·0,01 | (700 – 2x)·0,01 + x | 700 – 3x |
| . . . | … | … | … |
| n | 700 – (n – 1)·x + (700 – (n – 1)·x)·0,01 | (700 – (n – 1)·x)·0,01 + x | 700 – nx = 300 |
| n + 1 | 700 – nx + (700 – nx)·0,01 = 1,01·(700 – nx) | 1,01·(700 – nx) = 1,01·300 = 303 | 0 |
Складываем выплаты за все месяцы:
(700·0,01 + x) + ((700 – x)·0,01 + x) + ((700 – 2x)·0,01 + x) + … + ((700 – (n – 1)·x)·0,01 + x) + 303
Первые n слагаемых образуют арифметическую прогрессию с разностью 0,01x. По формуле найдём их сумму:
| S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n=\frac{700\cdot 0,01+x+(700 – (n – 1)·x)·0,01 + x}{2}\cdot n=\frac{700\cdot 0,01+x+700·0,01 -0,01(n-1)x + x}{2}\cdot n=(700\cdot 0,01+x-0,005(n-1)x)\cdot n=(7+x-0,005nx+0,005x)\cdot n |
Из таблицы знаем, что 700 – nx = 300, отсюда nx = 700 – 300 = 400. Сумма всех платежей по условию равна 755. Вернув + 303 и подставив перечисленные выше значения, получим уравнение:
(7 + x – 0,005nx + 0,005x)·n + 303 = 755
(7 + x – 0,005·400 + 0,005x)·n + 303 = 755
(7 + x – 2 + 0,005x)·n = 755 – 303
(5 + x + 0,005x)·n = 452
5n + xn + 0,005xn = 452
5n + 400 + 0,005·400 = 452
5n + 400 + 2 = 452
5n + 402 = 452
5n = 452 – 402
5n = 50
n = 50/5
n = 10
Ответ: 10.