Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x2 + 2x + 6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px – (0,5x2 + 2x + 6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более, чем за 3 года?
Источники: Основная волна ЕГЭп2025 День 1
Решение:
Прибыль y за один год вычисляется по формуле:
у = рх – (0,5х2 + 2х + 6) = рх – 0,5х2 – 2х – 6 = –0,5х2 + (р – 2)·х – 6
Прибыль за 3 года:
3y = 3·(–0,5х2 + (р – 2)·х – 6)
За 3 года прибыль должна покрыть стоимость завода, которая составляет 78 млн рублей:
3·(–0,5х2 + (р – 2)·х – 6) ≥ 78 |:3
–0,5х2 + (р – 2)·х – 6 ≥ 26
–0,5х2 + (р – 2)·х – 6 – 26 ≥ 0
–0,5х2 + (р – 2)·х – 32 ≥ 0
Неравенство будет иметь решение, если дискриминант квадратного уравнения D ≥ 0:
D = (p – 2)2 – 4·(–0,5)·(–32) ≥ 0
(p – 2)2 – 4·(–0,5)·(–32) ≥ 0
(p – 2)2 – 64 ≥ 0
(p – 2)2 – 82 ≥ 0
(p – 2 – 8)(p – 2 + 8) ≥ 0
(p – 10)(p + 6) ≥ 0
Метод интервалов:
р – 10 = 0
р = 10
р + 6 = 0
р = –6
По условию, цена за единицу продукции p положительна, следовательно, p ≥ 10. Таким образом, наименьшее значение: p = 10 тыс. руб.
Ответ: 10.