Решение №5411 Строительство нового завода стоит 159 млн рублей.

Решение:

    Прибыль y за один год вычисляется по формуле:

у = рх – (0,5х² + 2х + 6) = рх – 0,5х² – 2х – 6 = – 0,5х² + (р – 2)·х – 6

    В 1й год продукция продаётся по цене p = 10 тыс. рублей за единицу, тогда прибыль составляет:

у = –0,5х² + (10 – 2)·х – 6 = –0,5х² + 8х – 6

    Фирма, согласно условию, будет выпускать продукцию в таком количестве x, при котором прибыль y будет максимальной. График этой функции – парабола, у которой ветви направлены вниз. Значит, её наибольшее значение будет в вершине:

x_{в}=\frac{-b}{2a}=\frac{-8}{2\cdot (-0,5)}=\frac{-8}{-1}=8

    Рассчитаем прибыль за 1й год:

у(8) = –0,5·8² + 8·8 – 6 = 26 млн. рублей

    Полученное значение меньше стоимости строительства завода, которая составляет 159 млн. рублей. Далее аналогично вычисляем прибыль за последующие годы, сравниваем с затратами на строительство и определяем, через сколько лет завод окупится.
    Во 2й год, при p = 11 тыс. рублей:

у = –0,5х² + 9х – 6
x_{в}=\frac{-9}{2\cdot (-0,5)}=\frac{-9}{-1}=9
у(9) = –0,5·9² + 9·9 – 6 = 34,5 млн. рублей
26 + 34,5 = 60,5 < 159 млн. рублей

    В 3й год, при p = 12 тыс. рублей:

у = –0,5х² + 10х – 6
x_{в}=\frac{-10}{2\cdot (-0,5)}=\frac{-10}{-1}=10
у(10) = –0,5·10² + 10·10 – 6 = 44 млн. рублей
26 + 34,5 + 44 = 104,5 < 159 млн. рублей

    В 4й год, при p = 13 тыс. рублей:

у = –0,5х² + 11х – 6
x_{в}=\frac{-11}{2\cdot (-0,5)}=\frac{-11}{-1}=11
у(11) = –0,5·11² + 11·11 – 6 = 44 млн. рублей
26 + 34,5 + 44 + 54,5 = 159 = 159 млн. рублей

    После проведения расчётов видно, что строительство завода окупится через 4 года.

Ответ: 4.