Решение №6126 Найдите наибольшее значение функции f(x)=-2/3x^3/2+3x+14 на отрезке [8; 12].

Решение:

f(x)=-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+14

    Найдём производную функции:

f^{′}(x)=-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}-1}\cdot \frac{3}{2}+3+0=-1\cdot x^{\frac{1}{2}}+3=-\sqrt{x}+3

    Найдём нули функции:

–√x + 3 = 0
–√x = –3
√x = 3 |^2
x = 9

    Значение x = 9 принадлежит отрезку [8; 12]. Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Наибольшее значение функции будет в точке максимума х = 9:

f(9)=-\frac{2}{3}\cdot 9^{\frac{3}{2}}+3\cdot 9+14=-\frac{2}{3}\cdot 9^{1+\frac{1}{2}}+27+14=-\frac{2}{3}\cdot 9^{1 }\cdot 9^{\frac{1}{2}}+41=-\frac{2}{3}\cdot 9\cdot \sqrt{9}+41=-18+41=23

Ответ: 23.