Решение №6072 Найдите наибольшее значение функции y = ​12 + 18x – 4x√x на отрезке [7; 19].

Решение:

y = 12 + 18x – 4x√x= 12 + 18x – 4x¹·x^\frac{1}{2} = 12 + 18x – 4·x^{1+\frac{1}{2}} = 12 + 18x – 4·x^\frac{3}{2}
ОДЗ: х ≥ 0

    Найдем производную функции:

y^{′}=(12+18x-4x^{\frac{3}{2}})^{′}=0+18-4\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}–1}=18-6x^{\frac{1}{2}}=18-6\sqrt{x}

    Найдем нули производной:

18-6\sqrt{x}=0\:{\color{Blue} |: 6}\\3-\sqrt{x}=0\\-\sqrt{x}=-3\:{\color{Blue} |^{2}}\\x=9

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции на отрезке [7; 19] из условия:

    Точка максимума х = 9, там и будет наибольшее значение функции:

y(9) = 12 + 18·9 – 4·9√9 = 12 + 162 – 108 = 66

Ответ: 66.