Решение №6048 Найдите наименьшее значение функции y = (x + 4)^2(x + 10) + 9 на отрезке [-8; 1].

Решение:

y = (x + 4)²(x + 10) + 9 = (x² + 8x + 16)·(x + 10) + 9 = x³ + 10x² + 8x² + 80x + 16x + 160 + 9 = x³ + 18x² + 96x + 169

    Найдём производную функцию:

y′ = 3х² + 36х + 96

    Найдём нули функции:

3х² + 36х + 96 = 0
х² + 12х + 32 = 0
D = 12² – 4·1·32 = 16 = 4²
x_{1}=\frac{-12+4}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4\\x_{2}=\frac{-12-4}{2\cdot 1}=\frac{-16}{2}=-8

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка минимума х = –4, там и будет наименьшее значение функции:

y(–4) = (–4 + 4)²(–4 + 10) + 9 = 0·6 + 9 = 9

Ответ: 9.