Решение №5993 Найдите наименьшее значение функции y = 2x^3 + 9x^2 + 12x – 5 на отрезке [-3; 4]

Решение:

y = 2x³ + 9x² + 12x – 5

    Найдём производную функцию:

y′ = 6x² + 18x + 12 – 0

    Найдём нули функции:

6x² + 18x + 12 = 0 |:6
x² + 3x + 2 = 0
D = 3² – 4·1·2 = 9 – 8 = 1 = 1²
x_{1}=\frac{-3+1}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1\\x_{2}=\frac{-3-1}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2

    Оба значения принадлежат отрезку [–3; 4]. Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Наименьшее значение функции будет в точке минимума x = –1 или на конце отрезка в точке x = –3, т.к. с x = –3 функция только начинает возрастать и значение в этой точке может быть наименьшим на всём отрезке, проверим обе точки:

y(–1) = 2·(–1)³ + 9·(–1)² + 12·(–1) – 5 = –10
y(–3) = 2·(–3)³ + 9·(–3)² + 12·(–3)– 5 = –14

Ответ: –14.