Решение №5992 Найдите наибольшее значение функции y = 2x^3 – 9x^2 – 24x + 14 на отрезке [-2; 7].

Решение:

y = 2x³ – 9x² – 24x + 14

    Найдём производную функцию:

y′ = 6x² – 18x – 24 + 0

    Найдём нули функции:

6x² – 18x – 24 = 0 |:6
x² – 3x – 4 = 0
D = (–3)² – 4·1·(–4) = 9 + 16 = 25 = 5²
x_{1}=\frac{3+5}{2\cdot 1}=\frac{8}{2}=4\\x_{2}=\frac{3-5}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1

    Оба значения принадлежат отрезку [–2; 7]. Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Наибольшее значение функции будет или в точке максимума х = –1 или на конце отрезка в точке х = 7, т.к. с х = 4 до х = 7 функция возрастает, проверим обе точки:

y(–1) = 2·(–1)³ – 9·(–1)² – 24·(–1) + 14 = 27
y(7) = 2·7³ – 9·7² – 24·7 + 14 = 91

Ответ: 91.