Решение №5929 Найдите наибольшее значение функции y = 1/3x√x – 3x + 70 на отрезке [9; 81].

Решение:

y = \frac{1}{3}x√x – 3x + 70 = \frac{1}{3}· x¹·x^\frac{1}{2} – 3x + 70 =\frac{1}{3}· x^{1+\frac{1}{2}} – 3x + 70 =\frac{1}{3}· x^\frac{3}{2} – 3x + 70
ОДЗ: х ≥ 0

    Найдем производную функции:

y′=(\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}- 3x + 70)′=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}–1}-3+0=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}-3=\frac{1}{2}\sqrt{x}-3

    Найдем нули производной:

\frac{1}{2}\sqrt{x}-3=0\\\frac{1}{2}\sqrt{x}=3\\\sqrt{x}=\frac{3}{\frac{1}{2}}\\\sqrt{x}=6{\color{Blue} |^{2}}\\x=36

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции на отрезке [9; 81] из условия:

    Точка минимума х = 36, там будет наименьшее значение функции на отрезке [9; 81], а наибольшее значение на одном из концов отрезка, проверим:

y(9)=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot \sqrt{9}-3\cdot 9+70=3\cdot 3-27+70=52\\y(81)=\frac{1}{3}\cdot 81\cdot \sqrt{81}-3\cdot 81+70=27\cdot 9-243+70=70

Ответ: 70.