Решение №5928 Найдите наименьшее значение функции y = -2/5x√x + 3x – 8 на отрезке [4; 36].

Решение:

y = -\frac{2}{5}x√x + 3x – 8 = -\frac{2}{5}· x¹·x^\frac{1}{2} + 3x – 8 =-\frac{2}{5}· x^{1+\frac{1}{2}} + 3x – 8 =-\frac{2}{5}· x^\frac{3}{2} + 3x – 8
ОДЗ: х ≥ 0

    Найдем производную функции:

y′=(-\frac{2}{5}x^{\frac{3}{2}}+ 3x – 8)′=-\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}–1}+3-0=-\frac{3}{5}\cdot x^{\frac{1}{2}}+3=-\frac{3}{5}\sqrt{x}+3

    Найдем нули производной:

-\frac{3}{5}\sqrt{x}+3=0\\-\frac{3}{5}\sqrt{x}=-3\\\sqrt{x}=\frac{-3}{-\frac{3}{5}}\\\sqrt{x}=5{\color{Blue} |^{2}}\\x=25

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции на отрезке [4; 36] из условия:

    Точка максимума х = 25, там будет наибольшее значение функции на отрезке [4; 36], а наименьшее значение на одном из концов отрезка, проверим:

y(4)=-\frac{2}{5}\cdot 4\cdot \sqrt{4}+3\cdot 4-8=-1,6\cdot 2+12-8=0,8\\y(36)=-\frac{2}{5}\cdot 36\cdot \sqrt{36}+3\cdot 36-8=-14,4\cdot 6+108-8=13,6

Ответ: 0,8.