Решение №3228 Найдите наибольшее значение функции y = ln(x + 18)^12

Найдите наибольшее значение функции y = ln(x + 18)¹²− 12x на отрезке [−17,5;0].

Источник: Ященко ЕГЭ 2023 (36 вар)

Cпособ 1
Решение:

y = ln(x + 18)¹²− 12x

Найдём производную функцию:

$y^{′}=\frac{1}{(x+18)^{12}}\cdot ((x+18)^{12})^{′}-12=\frac{1}{(x+18)^{12}}\cdot 12\cdot (x+18)^{11}\cdot (x+18)^{′} -12=\frac{1}{(x+18)^{12}}\cdot 12\cdot (x+18)^{11}\cdot 1 -12=\frac{12\cdot (x+18)^{11}}{(x+18)^{12}}-12=\frac{12}{x+18}-12$

Найдём нули функции:

$\frac{12}{x+18}-12=0\\\frac{12}{x+18}=12\:{\color{Blue} |: 12}\\\frac{1}{x+18}=1\\x+18=1\\x=1-18=-17$

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

Точка максимума х = –17, там и будет наибольшее значение функции:

y(–17) = ln(–17 + 18)¹²− 12·(–17) = 0 + 204 = 204

Ответ: 204.

Cпособ 2
Решение:

Решим подбором.
При нахождении наибольшего значения функции, во время подстановки вместо х, функция должна равняться целому числу или конечной десятичной дроби (иначе не сможем записать в ответ ЕГЭ). Т.е. при вычислениях должно сократиться «ln(х + 18)¹²»^.
На отрезке [−17,5; 0]. можно подобрать только одно такое значение:

х = –17
ln(–17 + 18)¹²= ln(1)¹² = lоg_e(1)¹²= 0¹²= 0

Найдём наибольшее значение функции:

y(–17) = ln(–17 + 18)¹²− 12·(–17) = 0 + 204 = 204

Ответ: 204.