Найдите наименьшее значение функции y = x√x − 9x + 25 на отрезке [1; 50].
Источник: fipi
Решение:
y=x\sqrt{x}-9x+25= x^{1} \cdot x^{\frac{1}{2}}-9x+25 = x^{1+\frac{1}{2}}-9x+25=x^{\frac{3}{2}}-9x+25
ОДЗ: х ≥ 0
Найдем производную функции:
y′=(x^{\frac{3}{2}}-9x+25)′=\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}-1}-9=\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}-9=\frac{3}{2}\sqrt{x}-9
Найдем нули производной:
\frac{3}{2}\sqrt{x}-9=0 \\\frac{3}{2}\sqrt{x}=9
√x = \frac{9\cdot 2}{3}=6 |2
x = 36 ∈ [1; 50]
Подставим значения найденной точки экстремума х = 36 и концы отрезка [1; 50] в функцию и найдём наименьшее значение:
y(36) = 36√36 − 9·36 + 25 = 216 – 324 + 25 = –83
y(1) = 1√1 − 9·1 + 25 = 1 – 9 + 25 = 17
y(50) = 50√50 − 9·50 + 25 = 50√50 – 450 + 25 = 50√(25·2) – 425 = 50·5√2 – 425 = 250√2 – 425 ≈ –71,5 (не извлекается корень, в ответ ЕГЭ записать не сможем)
Наименьшее значение функции равно –83.
Ответ: –83.