Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 48 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 32 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Источник: statgrad
Решение:
Оба автомобилиста проехали одинаковое расстояние, обозначим его за S.
Пусть первый проехал весь путь со скоростью х км/ч. Тогда времени он потратил на весь путь \frac{S}{x}.
Второй автомобилист проехал первую \frac{S}{2} половину пути со скоростью 48 км/ч, а вторую половину пути \frac{S}{2}, со скоростью х + 32 км/ч. На весь путь времени он затратил:
\frac{\frac{S}{2}}{48}+\frac{\frac{S}{2}}{x+32}
Зная, что в пункт В они прибыли одновременно, т.е. их время в пути равно, составим уравнение:
\frac{S}{x}=\frac{\frac{S}{2}}{48}+\frac{\frac{S}{2}}{x+32}
Умножим обе части уравнения на 2 и разделим на S:
\frac{2}{x}=\frac{1}{48}+\frac{1}{x+32}\\\frac{2}{x}=\frac{1\cdot (x+32)+1\cdot 48}{48(x+32)}\\\frac{2}{x}=\frac{x+80}{48(x+32)}
2·48·(x + 32) = x·(x + 80)
96x + 3072 = x2 + 80x
x2 + 80x – 96x – 3072 = 0
x2 – 16x – 3072 = 0
D = (–16)2 – 4·1·(–3072) = 12544 = 1122
x_{1}=\frac{16+112}{2\cdot 1}=\frac{128}{2}=64 \:км/ч \\ x_{2}=\frac{16–112}{2\cdot 1}=\frac{-96}{2}=-48\color{Blue} \lt 0
Ответ: 64.