Решение №2379 Найдите наибольшее значение функции y=25x-25tgx+41 на отрезке [0;π /4].

Найдите наибольшее значение функции y = 25x − 25tgx + 41 на отрезке [0; $\frac{\pi }{4}$ ].

Источники: fipi, os.fipi, Основная волна 2013.

Решение:

𝑦 = 25𝑥 − 25tg𝑥 + 41

Найдём производную функцию:

y′ = 25 – $\frac{1}{\cos^{2} x}$

Найдём нули функции:

25 – 25· $\frac{1}{\cos^{2} x}$ = 0
25· $\frac{1}{\cos^{2} x}$ = 25 |:25

$\frac{1}{\cos^{2} x}$ = 1

cos² x = 1
cos x = 1

$x = 2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Один корень на отрезке [0; $\frac{\pi }{4}$ ], х = 0.

или
cos x = –1

$x = \pi +2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Корней на отрезке [0; $\frac{\pi }{4}$ ] нет.

Проверим на наибольшее значение функции точки х = 0 и х = $\frac{\pi }{4}$ :

𝑦(0) = 25·0 − 25tg0 + 41 = 0 + 0 + 41 = 41
𝑦( $\frac{\pi }{4}$ ) = 25· $\frac{\pi }{4}$ − 25tg $\frac{\pi }{4}$ + 41 = 25· $\frac{\pi }{4}$ − 25·1 + 41 = 25· $\frac{\pi }{4}$ + 16 – не сможем записать в ответ ЕГЭ.

Ответ: 41.