При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 99% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 89% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 15% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Источник: statgrad
Решение:
Пусть некоторый пациент имеет заболевание с вероятностью х, тогда не имеет это заболевание с вероятностью 1 – х.
Положительный результат анализа может быть в 2-х случаях:
1) Пациент имеет заболевание и получает положительный результат, вероятность этого события (99% = 0,99):
х·0,99
2) Пациент не имеет это заболевание, тест дал ложный результат, вероятность (89% = 0,89):
(1 – х)·(1 – 0,89)
Зная, что тест в среднем оказывается положительным у 15% = 0,15 пациентов, составим уравнение:
х·0,99 + (1 – х)·(1 – 0,89) = 0,15
х·0,99 + (1 – х)·0,11 = 0,15
х·0,99 + 0,11 – 0,11х = 0,15
х·0,88 = 0,15 – 0,11
х·0,88 = 0,04
x=\frac{0,04}{0,88}
Вероятность того, что пациент болен, при условии, что тест уже оказался положительным, называется условной вероятностью и находится по формуле:
P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}, где
Р(В) – вероятность того, что тест оказался положительным;
Р(АВ) – вероятность, что пациент болен и тест положительный;
P(A|B)=\frac{\frac{0,04}{0,88}\cdot 0,99}{0,15}=\frac{\frac{0,04\cdot 0,99}{0,88}}{0,15}=\frac{\frac{0,04\cdot 0,09}{0,08}}{0,15}=\frac{\frac{1\cdot 0,09}{2}}{0,15}=\frac{0,09\cdot 1}{2\cdot 0,15}=\frac{0,09}{0,3}=0,3
Ответ: 0,3.