Юрий Борисович начал строить на дачном участке теплицу (рис. 1). Для этого он сделал прямоугольный фундамент длиной 6 м (DC на рис. 2) и шириной 2,4 м (AD на рис. 2). Нижний ярус теплицы имеет форму прямоугольного параллелепипеда, собран из металлического профиля и по длине для прочности укреплён металлическими стойками. Высота нижнего яруса теплицы в два раза меньше её ширины. Для верхнего яруса теплицы Юрий Борисович заказал металлические дуги в форме полуокружностей, которые крепятся к стойкам нижнего яруса. Отдельно требуется купить материал для обтяжки поверхности теплицы. В передней стенке планируется вход, показанный на рис.1 прямоугольником EFKN, где точки E, P и N делят отрезок AD на равные части. Внутри теплицы Юрий Борисович планирует сделать три грядки: одну широкую центральную и две одинаковые узкие по краям, как показано на рис. 2. Между грядками и при входе в теплицу будут дорожки шириной 40 см, для которых надо купить тротуарную плитку размером 20×20 см.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Задание 1
Найдите высоту теплицы PQ в метрах.
Решение:
Высоту теплицы PQ можно найти следующим образом:
PQ = PO + OQ
РО – это высота нижнего яруса теплицы, который в два раза меньше её ширины AD:
PO = AD/2 = 2,4/2 = 1,2 м
OQ – это радиус полуокружности верхнего яруса теплицы, равный половине ширины теплицы AD (т.к. E, P и N делят отрезок AD на равные части):
R = OQ = PD = AD/2 = 2,4/2 = 1,2 м
Найдём высоту теплицы PQ:
PQ = PO + OQ = 1,2 + 1,2 = 2,4 м
Ответ: 2,4.
Задание 2
Сколько нужно купить упаковок плитки для дорожек, если в каждой упаковке 6 штук?
Решение:
По условию ширина грядок равна 40 см. Длина нижней дорожки, равна ширине теплицы AD = 2,4 м = 240 см. Длины двух других дорожек равны длине теплицы СВ = 6 м = 600 см:
Найдём общую площадь всех трёх грядок:
40·240 + 40·600 + 40·600 = 40·(240 + 600 + 600) = 40·1440 = 57600 см2
Дорожки пересекаются, площадь двух квадратов посчитали дважды, вычтем их:
57600 – 40·40 – 40·40 = 54400 см2
Площадь одной тротуарной плитки равна 20х20 см:
20·20 = 400 см2
Найдём сколько нужно купить:
54400/400 = 136 плиток
В одной упаковке 6 плиток, значит надо купить:
136/6 ≈ 22,6..
Такое количество упаковок нам не продадут, значит надо брать минимум 23 упаковки.
Ответ: 23.
Задание 3
Найдите ширину центральной грядки, если она в 1,2 раза больше ширины узкой грядки. Ответ дайте в сантиметрах.
Решение:
Пусть ширина каждой из узких грядок равна х, тогда ширина центральной грядки 1,2х. Зная все расстояния, составим уравнение и найдём х:
х + 40 + 1,2х + 40 + х = 240
3,2х + 80 = 240
3,2х = 240 – 80
3,2х = 160
х = 160/3,2 = 50 см
Найдём ширину центральной грядки:
1,2х = 1,2·50 = 60 см
Ответ: 60.
Задание 4
Найдите длину металлической дуги для верхнего яруса теплицы. Ответ дайте в метрах, округлив его в большую сторону с точностью до десятых.
Решение:
Длина металлической дуги, это половина длины окружности с радиусом равным 1,2 м. Найдём по формуле длину окружности:
С = 2πR = 2·3,14·1,2
Длина дуги в два раза меньше, округлим в большую сторону до десятых:
\frac{С}{2}=\frac{2·3,14·1,2}{2}=3,14·1,2=3,768\approx 3,8\:м
Ответ: 3,8.
Задание 5
Найдите высоту EF входа в теплицу в сантиметрах с точностью до целого.
Решение:
Высоту EF можно найти следующим образом:
EF = EV + VF
EV – это высота нижнего яруса теплицы он равен 1,2 м = 120 см.
Рассмотрим ΔFVO, он прямоугольный, в нём FO = 1,2 м = 120 см, как радиус дуги. VO = EP, как параллельные стороны прямоугольника, и равен 2,4/4 = 0,6 м = 60 см.
В прямоугольном ΔFVO, по теореме Пифагора, найдём VF:
FO2 = VF2 + VO2
1202 = VF2 + 602
1202 – 602= VF2
10800 = VF2
VF = √10800
Найдём высоту EF, в сантиметрах с точностью до целого:
EF = EV + VF = 120 + \sqrt{10800} = 120 + \sqrt{3\cdot 4\cdot 9\cdot 100}=120+\sqrt{3\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 10^{2}}=120+2\cdot 3\cdot 10\cdot \sqrt{3}=120+60\cdot \sqrt{3}\approx 120+60\cdot 1,73 \approx 120+103,8\approx 223,8\approx 224\: см
Что бы найти приближённое значение √3, в таблице квадратов из справочного материала ОГЭ находим, что наиболее близкое число это 1,7, а потом в столбик находим ближайшее число до сотых это 1,73:
По ответам сборника, будет верный любой ответ в диапазоне 222 – 225 см.
Ответ: 224.