В треугольнике АВС вершина B лежит напротив большей стороны. Проведены медиана BM и высота BH. Известно, что АH = 54, BC = BM. Найдите длину стороны AC.
Источник: fioco.ru
Решение:
Пусть HC = x. Треугольник ΔMBC равнобедренный (ВС = ВМ по условию), высота BH в нём является и медианой, поэтому НС = MH = x. Т.к. BM – медиана треугольника ΔABC, она делит сторону AC пополам, значит AM = MC. Но MC = MH + HC = x + x = 2x. Следовательно, и AM = 2x.
Из условия AH = 54, а AH = AM + MH, значит:
AM + MH = AH
2x + x = 54
3x = 54
x = 18
Тогда AC = AM + MC = 2x + 2x = 4x = 4·18 = 72.
Ответ: 72.