Решение №1513 На боковой стороне CB равнобедренного (AB = BC) треугольника ABC выбрана точка K.

На боковой стороне CB равнобедренного (AB = BC) треугольника ABC выбрана точка K. Оказалось, что CA = AK = KB. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Источник задания: alexlarin.net

Решение:

ΔАКС равнобедренный (АК = АС), углы при основании равны, пусть:

∠АКС = α
∠КСА = α

Сумма углов любого треугольника равна 180°, тогда:

∠КАС = 180° – (∠АКС + ∠КСА) = 180° – 2α

∠АКС и ∠АКВ смежные, значит:

∠АКВ = 180° – ∠АКС = 180° – α

ΔАВК равнобедренный (ВК = АК), углы при основании равны, тогда:

${\color{Red} \angle BAK} = {\color{Red} \angle ABK}=\frac{180^{\circ}-\angle AKB}{2}=\frac{180^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha )}{2}={\color{Red} \frac{\alpha }{2}}$

ΔАВC равнобедренный (АВ = ВС), углы при основании равны, тогда:

∠А = ∠С
$\frac{\alpha }{2}$ + 180° – 2α = α
180° = α + 2α – $\frac{\alpha }{2}$ | ·2
360° = 2α + 4α – α
360° = 5α
$\alpha=\frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$

Найдём ∠АВС:

$\angle ABC = \frac{\alpha }{2}=\frac{72^{\circ}}{2}=36^{\circ}$

Ответ: 36.