Решение №2129 На рисунке изображён график функции f(x)=(kx+a)/(x+b). Найдите k.

На рисунке изображён график функции $f(x)=\frac{kx+a}{x+b}$ . Найдите k.

Источник: mathege

Решение:

Возьмём 3 точки принадлежащие гиперболе с целочисленными координатами:

Подставим их координаты в функцию, получим систему из трёх уравнений:

$\left\{\begin{matrix} 6=\frac{k\cdot (-3)+a}{-3+b}\\ 2=\frac{k\cdot 1+a}{1+b}\\ -4=\frac{k\cdot (-5)+a}{-5+b} \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 6=\frac{-3k+a}{-3+b}\\ 2=\frac{k+a}{1+b}\\ -4=\frac{-5k+a}{-5+b} \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} -18 + 6b = -3k + a\\ 2 + 2b = k + a\\ 20 - 4b = -5k + a \end{matrix}\right.$

Выразим а из 2-го уравнения и подставим в 1-е и 3-е уравнение:

а = 2 + 2b – k

$\left\{\begin{matrix} -18+6b=-3k+2+2b-k\\ 20-4b=-5k+2+2b-k\\ \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} -20+4b=-4k\: \: \: {\color{Blue} |\cdot 3}\\ 18-6b=-6k\: \: \: \: \:\: \: {\color{Blue} |\cdot 2}\\ \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} -60+12b=-12k\\ 36-12b=-12k\\ \end{matrix}\right.$

Сложим два уравнения:

–60 + 36 + 12b – 12b = –12k – 12k
–24 = –24k

$k=\frac{-24}{-24}=1$

Ответ: 1.