Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.
Источник: statgrad
Решение:
Расстояние от стороны АВ до точки К это перпендикуляр КН. Проведём через точку К высоту параллелограмма MN:
ΔАКН = ΔАКМ, как прямоугольные треугольники (∠КНА = ∠КМА = 90°), с общей гипотенузой АК и равными острыми углами (∠НАК = ∠МАК) образованными биссектрисой АК. Тогда равны соответствующие стороны:
КН = КМ = 4
Аналогично, ΔВНК = ΔВNK, как прямоугольные треугольники (∠ВНК = ∠ВNK = 90°), с общей гипотенузой BК и равными острыми углами (∠НBК = ∠NBК) образованными биссектрисой BК. Тогда равны соответствующие стороны:
КН = КN = 4
Найдём чему равна высота параллелограмма MN:
MN = КМ + КN = 4 + 4 = 8
Найдём площадь параллелограмма АВСD:
SАВСD = a·h = BC·MN = 7·8 = 56
Ответ: 56.