Медиана ВМ треугольника АВС является диаметром окружности, проходящей через середину отрезка ВС. Найдите площадь треугольника АВС, если радиус окружности, описанной около него, равен 18, а длины его двум меньших сторон относятся как 3 : 1.
Источник: Ященко ОГЭ 2026 (36 вар.)
Решение:
Построим рисунок по условию задачи, обозначим середину отрезка ВС точкой К.
Проведём прямую МК, она будет являться высотой (ΔВКМ прямоугольный, т.к. ВМ диаметр окружности) и медианой (по условию К середина ВС) ΔВМС, а значит этот треугольник равнобедренный в нем ВМ = МС.
АМ = МС, т.к. по условию ВМ медиана, тогда АМ = МС = ВМ, получается это радиусы окружности описанной около ΔАВС, центром этой окружности является точка М, АС – диаметр, а ΔАВС прямоугольный:
В прямоугольном ΔАВС по условию меньшие стороны (катеты) относятся как 3:1, обозначим АВ = х, ВС = 3х, а сторона АС – диаметр окружности и равна АС = 2·R = 2·18 = 36. По теореме Пифагора найдём стороны:
АВ2 + ВС2 = АС2
х2 + (3х)2 = 362
х2 + 9х2 = 1296
10х2 = 1296
х2 = 1296/10
х2 = 129,6
х = √129,6
АВ = √129,6, тогда ВС = 3х = 3·√129,6. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Найдём площадь ΔАВС:
S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{129,6}\cdot 3\cdot \sqrt{129,6}=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{129,6}^{2}=\frac{3}{2}\cdot 129,6=194,4
Ответ: 194,4.