Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 39 и CD = 12 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Источник: statgrad
Решение:
Проведём прямую DM параллельную АС. Дуги ‿АМ = ‿CD, значит и хорды равны CD = AM = 12.
∠ABK = ∠DKC = 60°, как вертикальные. ∠MDK = ∠DKC = 60°, как накрест лежащие углы, при AC||MD и секущей DK.
Четырёхугольник AMDB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Найдём ∠MAB:
∠MAB = 180° – ∠MDB = 180° – 60° = 120°
По теореме косинусов найдём MB:
MB2 = AM2 + AB2 – 2·AM·AB·cos∠MAB
MB=\sqrt{AM^{2}+AB^{2}-2\cdot AM\cdot AB\cdot \cos 120^{\circ}} \\ MB=\sqrt{12^{2}+39^{2}-2\cdot 12\cdot 39\cdot (-0,5)} \\MB=\sqrt{144+1521+468} \\MB=\sqrt{2133}
Найдём радиус описанной вокруг ΔABM окружности по теореме синусов:
\frac{MB}{sin\angle MAB}=2R\\\frac{\sqrt{2133}}{sin\: 120^{\circ}}=2R\\\frac{\sqrt{2133}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R\\\frac{\sqrt{2133}\cdot 2}{\sqrt{3}}=2R\\\frac{\sqrt{2133}}{\sqrt{3}}=R\\R=\sqrt{\frac{2133}{3}}=\sqrt{711}=\sqrt{9\cdot 79}=3\sqrt{79}
Ответ: 3√79.