Решение №3145 Решите уравнение х^4 = (х-2)^2.

Решение:

х⁴ = (х – 2)²
х⁴ – (х – 2)² = 0
х^2·2 – (х – 2)² = 0
(х²)² – (х – 2)² = 0

    По формуле разности квадратов:

(х² – (х – 2))·(х² + (х – 2)) = 0
(х² – х + 2)·(х² + х – 2) = 0

    Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

х² – х + 2 = 0
D = (–1)² – 4·1·2 = –7 < 0 корней нет

или

х² + х – 2 = 0
D = 1² – 4·1·(–2) = 9, \sqrt{D}=\sqrt{9}=3
x_{1}=\frac{–1+3}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1\\x_{2}=\frac{–1–3}{2\cdot 1}=\frac{–4}{2}=–2

Ответ: –2; 1.