Ваня, Миша, Алик и Вадим ловили рыбу. Оказалось, что количества рыб, пойманных каждым из них, образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Если бы Алик поймал столько же рыб, сколько Вадим, а Вадим поймал бы на 12 рыб больше, то количества рыб, пойманных юношами, образовали бы в том же порядке геометрическую прогрессию. Сколько рыб поймал Миша?

Источник задания: alexlarin.net

Решение:

    aпоймал рыбы Ваня;
    d разность ариф. прогрессии, на сколько больше поймал каждый мальчик;

Арифметическая прогрессия:

ВаняМишаАликВадим
а a + da + 2da + 3d

Геометрическая прогрессия:

ВаняМишаАлик (столько же, сколько Вадим)Вадим (на 12 больше)
а a + dа + 3da + 3d +12

    Т.к. это геометрическая прогрессия, то каждый следующий мальчик поймал рыбы в q раз больше предыдущего. Запишем это для Вани, Миши и Алика:

blank

    Приравняв дроби, получим пропорцию:

blank

(a + d)·(a + d) = (a + 3d)·a
a2 + 2ad + d2 = a2 + 3ad
–ad + d2 = 0
d·(–a + d) = 0
d = 0 ∉  или  –a + d = 0
                     d = a

    Запишем соотношения для Миши, Алика и Вадима:

blank

blank

    Приравняв дроби, получим пропорцию:

blank

    Подставим d = a:

blank

blank

blank

2a = a + 3
a = 3

    Найдём сколько рыбы поймал Миша:

a + d = a + a = 3 + 3 = 6

Ответ: 6.