Расстояние между пристанями А и В равно 72 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Источник: Ященко ЕГЭп 2025 (36 вар.)
Решение:
Найдём время в пути плота:
24/3 = 8 часов
Яхта отправилась на 1 час позже, т.е. её время:
8 – 1 = 7 часов
Пусть скорость яхты х км/ч. Тогда скорость яхты по течению реки x + 3 км/ч, а против течения x – 3 км/ч.
Время потраченное на путь по течению равно \frac{72}{x+3} км, а на путь против течения \frac{72}{x–3} км. Зная что всего яхта была в пути 7 часов, составим уравнение:
\frac{72}{x+3}+\frac{72}{x–3}=7\\\frac{72\cdot (x–3)+72\cdot (x+3)}{(x+3)(x–3)}=7\\\frac{72x+72x}{x^{2}–3^{2}}=7\\\frac{144x}{x^{2}–9}=7\\(x^{2}–9)\cdot 7=144x\\7x^{2}-144x-63=0
D = (–144)2 – 4·7·(–63) = 22500 = 1502
x_{1}=\frac{144+150}{2\cdot 7}=\frac{294}{14}=21\\x_{2}=\frac{144–150}{2\cdot 7}=\frac{–6}{14}=-\frac{3}{7}
Скорость яхты может быть только положительна, выбираем 21 км/ч.
Ответ: 21.