Юра летом отдыхает у дедушки и бабушки в деревне Казаково. Юра с дедушкой собираются съездить на велосипедах в село Бор на железнодорожную станцию. Из Казаково в Бор можно проехать по шоссе до деревни Заулки, где нужно свернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в Бор через посёлок Малахово. Из Казаково в Бор можно проехать через посёлок Малахово и не заезжая в Заулки, но тогда первую часть пути надо будет ехать по прямой лесной дорожке. Есть и третий маршрут: доехать по прямой тропинке мимо пруда до села Шокша и там, повернув налево, по шоссе добраться до Бора.
По шоссе Юра с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке 12 км/ч. Расстояние по шоссе от Казаково до Заулок равно 24 км, от Бора до Заулок – 30 км, от Бора до Малахово – 20 км, а от Бора до Шокши – 8 км.
Источник задания: ОГЭ 2021 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.
Задание 1
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. В ответ запишите полученную последовательность пяти цифр.
Решение
Юра летом отдыхает у дедушки и бабушки в деревне Казаково. Из Казаково (5) в Бор можно проехать по шоссе до деревни Заулки (4), где нужно свернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в Бор (1) через посёлок Малахово (3). Из Казаково в Бор можно проехать через посёлок Малахово и не заезжая в Заулки, но тогда первую часть пути надо будет ехать по прямой лесной дорожке. Есть и третий маршрут: доехать по прямой тропинке мимо пруда до села Шокша (2) и там, повернув налево, по шоссе добраться до Бора.
Ответ: 14532.
Задание 2
Сколько километров проедут Юра с дедушкой, если они поедут на станцию по шоссе через Заулки?
Решение
Юра с дедушкой едут из Казаково в ЖД станцию Бор, по шоссе через Заулки это расстояние равно:
24 км + 30 км = 54 км
Ответ: 54
Задание 3
На сколько процентов скорость, с которой едут Юра с дедушкой по тропинке, меньше их скорости по шоссе?
Решение
По шоссе скорость: 15 км/ч
По тропинке скорость: 12 км/ч
Скорость по тропинке меньше скорости по шоссе на:
15 – 12 = 3 км/ч
15 км/ч это 100%, найдём сколько от этого составляют 3 км/ч:
\frac{3}{15}\cdot 100\%=\frac{1}{5}\cdot 100\%=0,2\cdot 100\%=20\%
Ответ: 20.
Задание 4
Найдите расстояние от д. Казаково до п. Шокша по прямой тропинке. Ответ дайте в километрах.
Решение
Рассмотрим прямоугольный треугольник.
В нём меньший катет равен разнице между расстояниями Казаково – Заулки и Шокша – Бор:
24 – 8 = 16 км
Больший катет равен расстоянию между Заулки – Бор т.е. 30 км.
Гипотенуза это искомое расстояние Казаково – Шокша (х), найдём по теореме Пифагора:
х2 = 162 + 302
х2 = 256 + 900
х2 = 1156
х = √1156 = 34 км
Ответ: 34
Задание 5
Определите, на какой маршрут до станции потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Юра с дедушкой, если поедут этим маршрутом.
Решение:
Из Казаково до ЖД станции Бор существует 3 маршрута:
1-й маршрут: через Заулки по трассе 54 км (задание 2) со скоростью 15 км/ч, времени на неё потратят:
часа
Переведём в минуты:
3,6·60 = 216 минут
2-й маршрут: до Шокши 34 км, по тропинке со скоростью 12 км/ч и 8 км по трассе до Бора со скоростью 15 км/ч. Времени потратят:
часа
Переведём в минуты:
минуты
3-й маршрут: до Малахово по тропинке со скоростью 12 км/ч, расстояние (х) найдём из прямоугольного треугольника (Δ543) по теореме Пифагора:
х2 = 242 + (30 – 20)2
х2 = 576 + 100
х2 = 676
х = √676 = 26 км
Далее до Бор по шоссе 20 км со скоростью 15 км/ч. Времени потратят:
часа
Переведём в минуты:
минут
Меньше всего времени Юра с дедушкой потратят на 2-й маршрут – 202 минуты.
Ответ: 202