Решение №176 Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 4,8. Найдите объём треугольной пирамиды AD1CB1.

Решение:

    Объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 4,8 и его можно найти по формуле:

V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{осн}\cdot h=S_{ABCD}\cdot h=4,8

    Заметим, что кроме треугольной пирамидой AD₁CB₁ в параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ остаётся ещё 4 равных треугольных пирамиды ABCB₁ = ACDD₁ = А₁D₁B₁A = D₁B₁C₁C. Тогда объём искомой пирамиды можно найти отняв от объёма параллелепипеда эти 4 пирамиды:

V_AD1CB1 = V_ABCDA1B1C1D1 – 4·V_ABCB1

    Объём треугольной пирамиды находится по формуле:

V = \frac{1}{3}·S_осн·h

    У пирамиды ABCB₁ относительно параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ основание в два раза меньше, а высота равная. 

V_ABCB1 = \frac{1}{3}·\frac{1}{2}·Sосн·h = \frac{1}{6}·Sосн·h

    Вместо S_осн·h можем подставить 4,8 так по формуле находится объём исходного параллелипипеда:

V_ABCB1 = \frac{1}{6}·4,8 = 0,8

    Найдём объём треугольной пирамиды AD₁CB_1:

V_AD1CB1 = V_ABCDA1B1C1D1 – 4·V_ABCB1 = 4,8 – 4·0,8 = 1,6

Ответ: 1,6.