Решение №2495 Решите уравнение (x - 1)^4 - 2(х - 1)^2

Решите уравнение (x – 1)⁴ – 2(х – 1)² – 3 = 0.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (50 вар)

Решение:

(x – 1)^2·2 – 2(х – 1)² – 3 = 0
((x – 1)²)² – 2(х – 1)² – 3 = 0

Замена (х – 1)²= t, t > 0

t² – 2t – 3 = 0
D = (–2)² – 4·1·(–3) = 4 + 12 = 16 = 4²

$t_{1}=\frac{2-4}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1{\color{Blue} <0\notin }$

$t_{2}=\frac{2+4}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$

Обратная замена:

(х – 1)²= 3
х² – 2х + 1 = 3
х² – 2х + 1 – 3 = 0
х² – 2х – 2 = 0
D = (–2)² – 4·1·(–2) = 4 + 8 = 12 = (2√3)²

$x_{1}=\frac{2-2\sqrt{3}}{2\cdot 1}=\frac{2\cdot (1-\sqrt{3})}{2}=1-\sqrt{3}$

$x_{2}=\frac{2+2\sqrt{3}}{2\cdot 1}=\frac{2\cdot (1+\sqrt{3})}{2}=1+\sqrt{3}$

Ответ: 1 – √3; 1 + √3.