Решение №2495 Решите уравнение (x – 1)^4 – 2(х – 1)^2 – 3 = 0.

Решение:

(x – 1)^2·2 – 2(х – 1)² – 3 = 0
((x – 1)²)² – 2(х – 1)² – 3 = 0

    Замена (х – 1)² = t, t > 0

t² – 2t – 3 = 0
D = (–2)² – 4·1·(–3) = 4 + 12 = 16 = 4²
t_{1}=\frac{2–4}{2\cdot 1}=\frac{–2}{2}=–1\:{\color{Blue} <0\:\notin }\\t_{2}=\frac{2+4}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3

    Обратная замена:

(х – 1)² = 3
х² – 2х + 1 = 3
х² – 2х + 1 – 3 = 0
х² – 2х – 2 = 0
D = (–2)² – 4·1·(–2) = 4 + 8 = 12 = (2√3)²

x_{1}=\frac{2–2\sqrt{3}}{2\cdot 1}=\frac{2\cdot (1–\sqrt{3})}{2}=1–\sqrt{3}\\x_{2}=\frac{2+2\sqrt{3}}{2\cdot 1}=\frac{2\cdot (1+\sqrt{3})}{2}=1+\sqrt{3}

Ответ: 1–√3; 1+√3.