На средней линии трапеции KLMN с основаниями KN и LM выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников KLE и MEN равна сумме площадей треугольников LEM и KEN.
Источник: Ященко ОГЭ 2027 (36 вариантов)
Решение:
Отметим на средней линии трапеции точку E и проведём, через неё высоту НF трапеции:
Площадь трапеции АВСD по формуле находится следующим образом:
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot HF
Т.к. высота трапеции проходит, через точку E принадлежащей средней линии, то высоты треугольников равны:
HE = EF
Сумма площадей ΔLEM и ΔKEN равна:
S_{\Delta LEN+\Delta KEN}=\frac{1}{2}\cdot LM\cdot HE+\frac{1}{2}\cdot KN\cdot EF=\frac{1}{2}\cdot LM\cdot EF+\frac{1}{2}\cdot KN\cdot EF=\frac{1}{2}\cdot EF\cdot (LM+KN)=\frac{LM+KN}{2}\cdot EF=\frac{LM+KN}{2}\cdot \frac{HF}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{LM+KN}{2}\cdot HF
Видим что сумма площадей ΔLEM и ΔKEN равна половине площади трапеции. Вся трапеция состоит из четырёх треугольников: ΔLEM, ΔKEN, ΔKLE и ΔMEN. Если SΔLEM + SΔKEN – это одна половина, значит, два оставшихся треугольника, SΔKLE + SΔMEN, – это вторая половина. Половина равна половине. Следовательно:
SΔKLE + SΔMEN = SΔLEM + SΔKEN
Что и требовалось доказать.