На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна сумме площадей треугольников ABK и CKD.
Источник: Ященко ОГЭ 2027 (36 вариантов)
Решение:
Отметим на средней линии трапеции точку K и проведём, через неё высоту НF трапеции:
Площадь трапеции АВСD по формуле находится следующим образом:
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot HF
Т.к. высота трапеции проходит, через точку K принадлежащей средней линии, то высоты треугольников равны:
KF = KH
Сумма площадей ΔВKС и ΔАKD равна:
S_{\Delta BKC+\Delta AKD}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot KH+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot KF=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot KH+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot KH=\frac{1}{2}\cdot KH\cdot (BC+AD)=\frac{BC+AD}{2}\cdot KH=\frac{BC+AD}{2}\cdot \frac{HF}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{BC+AD}{2}\cdot HF
Видим что сумма площадей ΔВKС и ΔАKD равна половине площади трапеции. Вся трапеция состоит из четырёх треугольников: ΔBKC, ΔAKD, ΔABK и ΔCKD. Если SΔBKC + SΔAKD – это одна половина, значит, два оставшихся треугольника, SΔABK + SΔCKD, – это вторая половина. Половина равна половине. Следовательно:
SΔBKC + SΔAKD = SΔABK + SΔCKD
Что и требовалось доказать.