На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 85.
Источник: Ященко ОГЭ 2027 (36 вариантов)
Решение:
Длину ломаной с первым звеном 10 можно посчитать следующим образом:
10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + … + 1 + 1
У змейки каждое звено повторяется два раза:
2·10 + 2·9 + 2·8 + … + 2·1 = 2·(10 + 9 + 8+ … + 1)
Тогда для змейки с последним звеном 85 длина ломаной находится:
2·(85 + 84 + 83 + … + 1)
В скобках получаем арифметическую прогрессию:
а1 = 1
а85 = 85
n = 85
S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}\\S_{85}=\frac{(1+85)\cdot 85}{2}=\frac{86 \cdot 85}{2}=43\cdot 85=3655
Тогда длина ломанной равна:
2·(85 + 84 + 83 + … + 1) = 2·S85 = 2·3655 = 7310
Ответ: 7310.