На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 95.
Источник: Ященко ОГЭ 2027 (36 вариантов)
Решение:
Длину ломаной с первым звеном 10 можно посчитать следующим образом:
10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + … + 1 + 1
У змейки каждое звено повторяется два раза:
2·10 + 2·9 + 2·8 + … + 2·1 = 2·(10 + 9 + 8+ … + 1)
Тогда для змейки с последним звеном 95 длина ломаной находится:
2·(95 + 94 + 93 + … + 1)
В скобках получаем арифметическую прогрессию:
а1 = 1
а95 = 95
n = 95
S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}\\S_{95}=\frac{(1+95)\cdot 95}{2}=\frac{96 \cdot 95}{2}=48\cdot 95=4560
Тогда длина ломанной равна:
2·(95 + 94 + 93 + … + 1) = 2·S95 = 2·4560 = 9120
Ответ: 9120.