Решение №6602 Решите уравнение (x^2-64)^2+(x^2+6x-16)^2=0.

Решение:

(x² – 64)² + (x² + 6x – 16)²= 0
(x² + 6x – 16)² + (x² – 64)² = 0
(x² + 6x – 16)² + (x² – 8²)² = 0
(x² + 6x – 16)² + ((x – 8)·(x + 8))² = 0

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

x² + 6x – 16 = 0
D = 6² – 4·1·(–16) = 36 + 64 = 100 = 10²
x_{1}=\frac{-6+10}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2\\x_{2}=\frac{-6-10}{2\cdot 1}=\frac{-16}{2}=-8 
x² – 5x – 36 = (x – 2)(x –(–8)) = (x – 2)(x + 8)

((x – 2)(x + 8))² + ((x – 8)·(x + 8))² = 0
(x – 2)²·(x + 8)² + (x – 8)²·(x + 8)² = 0

Вынесем общий множитель за скобки:

(x + 8)²·((x – 2)² + (x – 8)²) = 0

    Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю:
(x + 8)² = 0
x₁ = –8
или
(x – 2)² + (x – 8)² = 0
х² – 4х + 4 + х² – 16х + 64 = 0
2х² – 20х + 68 = 0 |:2
х² – 10х + 34 = 0
D = (–10)² – 4·1·34 = 100 – 136 = –36 < 0 корней нет

Ответ: –8.