Решение №6601 Решите уравнение (x^2 – 16)^2 + (x^2 – 5x – 36)^2 = 0.

Решение:

(x² – 16)² + (x² – 5x – 36)²= 0
(x² – 5x – 36)² + (x² – 16)² = 0
(x² – 5x – 36)² + (x² – 4²)² = 0
(x² – 5x – 36)² + ((x – 4)·(x + 4))² = 0

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

x² – 5x – 36 = 0
D = (–5)² – 4·1·(–36) = 25 + 144 = 169 = 13²
x_{1}=\frac{5+13}{2\cdot 1}=\frac{18}{2}=9\\x_{2}=\frac{5-13}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4 
x² – 5x – 36 = (x – 9)(x –(–4)) = (x – 9)(x + 4)

((x – 9)(x + 4))² + ((x – 4)·(x + 4))² = 0
(x – 9)²·(x + 4)² + (x – 4)²·(x + 4)² = 0

Вынесем общий множитель за скобки:

(x + 4)²·((x – 9)² + (x – 4)²) = 0

    Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю:
(x + 4)² = 0
x₁ = –4
или
(x – 9)² + (x – 4)² = 0
х² – 18х + 81 + х² – 8х + 16 = 0
2х² – 26х + 97 = 0
D = (–26)² – 4·2·97 = 676 – 776 = –100 < 0 корней нет

Ответ: –4.