В июле 2030 года планируется взять кредит 182 000 рублей в банке на три года. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами?
Источник: fipi
Решение:
% = 20% = 0,2
S = 182 000 руб. – сумма взятая в кредит в банке
x руб. – платеж в каждый из 3-х лет
| Год | 100%+20%=120% (январь) | Платёж (февраль – июнь) | Долг на конец года (июль) |
| 0 | S | ||
| 1 | S·1,2 | x | 1,2S – x |
| 2 | (1,2S – x)·1,2 | x | (1,2S – x)·1,2 – x |
| 3 | ((1,2S – x)·1,2 – x)·1,2 | x | ((1,2S – x)·1,2 – x)·1,2 – x = 0 |
Зная, что в последний год кредит будет погашен полностью, получаем уравнение:
((1,2S – x)·1,2 – x)·1,2 – x = 0
1,23·S – x·1,22 – x·1,2 – x = 0
1,23·S – x·(1,22 + 1,2 + 1) = 0
1,23·S = x·(1,22 + 1,2 +1)
{\color{Blue} 1,2=1\frac{2}{10}=1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}}\\(\frac{6}{5})^{3}\cdot S=x\cdot ((\frac{6}{5})^{2}+\frac{6}{5}+1)\\\frac{216}{125}\cdot S=x\cdot (\frac{36}{25}+\frac{6}{5}+1)\\\frac{216}{125}\cdot S=x\cdot \frac{36\cdot 1+6\cdot 5+1\cdot 25}{25}\\\frac{216}{125}\cdot S=x\cdot \frac{91}{25}\:{\color{Blue} |\cdot 25}\\\frac{216}{5}\cdot S=x\cdot 91
Подставим значение S = 182 000 руб.:
\frac{216}{5}\cdot 182000=x\cdot 91\\216\cdot 36400=x\cdot 91\:{\color{Blue} |: 109}\\216\cdot 400=x\\x=86400
Платёж каждый год был равен 86 400 рублей, найдём сколько всего было выплачено банку за 3 года:
3·86 400 = 259 200 рублей
Ответ: 259 200 рублей.