По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» – увеличивает эту сумму на 12 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».
Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)
Решение:
Пусть на вклады «А» и «Б» было внесено по S (100%) рублей.
Вклад «А» увеличивается каждый год в течении 3 лет на 20%, т.е. вклад в конце каждого года становится равным:
100 + 20 = 120% (1,2)
Через 3 года на вкладе «А» будет:
S·1,2·1,2·1,2 = S·1,728 рулей
Вклад «Б» увеличивается каждый год в течении 2 лет на 12%, т.е. вклад в конце каждого года становится равным:
100 + 12 = 112% (1,12)
В 3-й год вклад увеличился на n%, тогда вклад в конце года стал равен:
100 + n % (1+\frac{n}{100})
Через 3 года на вкладе «Б» будет:
S·1,12·1,12·(1+\frac{n}{100}) = S·1,2544·(1+\frac{n}{100})
По условию на вкладе «Б» через 3 года, должно быть меньше денег, чем на вкладе «А», и при этом найти наибольший процент n в 3-й год:
S·1,2544·(1+\frac{n}{100}) < S·1,728 |:S
1,2544·(1+\frac{n}{100}) < 1,728
1,2544 + 1,2544·\frac{n}{100} < 1,728
1,2544·\frac{n}{100} < 1,728 – 1,2544
1,2544·\frac{n}{100} < 0,4736 |:1,2544
\frac{n}{100}<\frac{0,4736}{1,2544}
\frac{n}{100}<\frac{37}{98} |·100
n<\frac{3700}{98}\\n<37\frac{37}{49}
Наибольшее целое n принадлежащее этому неравенству – это 37%.
Ответ: 37.