Лев Борисович начал строить на дачном участке теплицу (рис. 1). Для этого он сделал прямоугольный фундамент длиной 7 м (DC на рис. 2) и шириной 3 м (AD на рис. 2). Нижний ярус теплицы имеет форму прямоугольного параллелепипеда, собран из металлического профиля и по длине для прочности укреплён металлическими стойками. Высота нижнего яруса теплицы в 2,5 раза меньше её ширины. Для верхнего яруса теплицы Лев Борисович заказал металлические дуги в форме полуокружностей, которые крепятся к стойкам нижнего яруса. Отдельно требуется купить материал для обтяжки поверхности теплицы. В передней стенке планируется вход, показанный на рис. 1 прямоугольником EFKN, где точки E, P и N делят отрезок AD на равные части. Внутри теплицы Лев Борисович планирует сделать три грядки: одну широкую центральную и две одинаковые узкие по краям, как показано на рис. 2. Между грядками и при входе в теплицу будут дорожки шириной 50 см, для которых надо купить тротуарную плитку размером 25 × 25 см.
Источник: ОГЭ 2027 Ященко (36 вариантов)
Задание 1
Найдите высоту теплицы PQ в метрах.
Решение:
Высоту теплицы PQ можно найти следующим образом:
PQ = PO + OQ
РО – это высота нижнего яруса теплицы, который в 2,5 раза меньше её ширины AD:
PO = AD/2 = 3/2,5 = 1,2 м
OQ – это радиус полуокружности верхнего яруса теплицы, равный половине ширины теплицы AD (т.к. E, P и N делят отрезок AD на равные части):
R = OQ = PD = AD/2 = 3/2 = 1,5 м
Найдём высоту теплицы PQ:
PQ = PO + OQ = 1,2 + 1,5 = 2,7 м
Ответ: 2,7.
Задание 2
Сколько нужно купить упаковок плитки для дорожек, если в каждой упаковке 6 штук?
Решение:
Ширина дорожки – это 50см/25см = 2 плитки. По длине в 1 м укладываются 100см/25см = 4 плитки. 1 м дорожки – 2·4 = 8 плиток.
Вся продольная дорожка 8·7 = 56 плиток. Две таких дорожки 2·56 = 112 плиток.
Осталось посчитать плитку поперечной дорожки: из ширины теплицы 3 м = 300 см (длины поперечной дорожки) вычитаем 2 ширины продольных дорожек, т.е. 300 – 50·2 = 200 см = 2 м. Т.к. 1 м дорожки – это 8 плиток то 2·8 = 16 плиток.
Итого: 112 + 16 = 128 плиток.
В одной упаковке 6 плиток, значит надо купить:
128/6 ≈ 21,3..
Такое количество упаковок нам не продадут, значит надо брать минимум 22 упаковки.
Ответ: 22.
Задание 3
Найдите ширину узкой грядки, если она на 25 % меньше ширины центральной грядки. Ответ дайте в сантиметрах.
Решение:
Пусть ширина центральной грядки равна х см, тогда ширина узких грядок (100% – 25% = 75%) равна 0,75х. Дорожки по условию равны 50 см. Вся ширина теплицы равна 3 м = 300 см (см. задание 2).
Получаем уравнение:
0,75х + 50 + х + 50 + 0,75х = 300
2,5х + 100 = 300
2,5х = 300 – 100
2,5х = 200
х = 200/2,5 = 80 см
Найдём ширину узкой грядки:
0,75х = 0,75·80 = 60 см
Ответ: 60.
Задание 4
Найдите длину металлической дуги для верхнего яруса теплицы. Ответ дайте в метрах, округлив его в большую сторону с точностью до десятых.
Решение:
Длина металлической дуги, это половина длины окружности с радиусом равным 1,5 м. Найдём по формуле длину окружности:
С = 2πR = 2·3,14·1,5
Длина дуги в два раза меньше, округлим в большую сторону до десятых:
\frac{С}{2}=\frac{2·3,14·1,5}{2}=3,14·1,5=4,71\approx 4,8\:м
Ответ: 4,8.
Задание 5
Найдите высоту EF входа в теплицу в метрах с точностью до десятых.
Решение:
Высоту EF можно найти следующим образом:
EF = EV + VF
EV – это высота нижнего яруса теплицы он равен 1,2 м.
Рассмотрим ΔFVO, он прямоугольный, в нём FO = 1,5 м, как радиус дуги. VO = EP, как параллельные стороны прямоугольника, и равен 3/4 = 0,75 м.
В прямоугольном ΔFVO, по теореме Пифагора, найдём VF:
FO2 = VF2 + VO2
1,52 = VF2 + 0,752
VF2 = 1,52 – 0,752 = (1,5 – 0,75)(1,5 + 0,75) = 0,75·2,25 = 1,6875
VF = √1,6875
Чтобы найти приближённое значение √1,6875, в таблице квадратов из справочного материала ОГЭ находим, что наиболее близкое число это 1,3:
Найдём высоту EF:
EF = EV + VF = 1,2 + 1,3 = 2,5
Ответ: 2,5.