Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается его боковых сторон АВ и АС в точках Т и М соответственно. Найдите ТМ, если АВ = 25, ВС = 14.
Источник: alexlarin.net
Решение:
Проведём высоту АН:
В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, которая делит ВС на две равные части:
ВН = НС = ВС/2 =14/2 = 7
Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны. Тогда:
ВН = ВТ = 7
СН = СМ = 7
Найдём АТ и АМ:
АТ = АВ – ВТ = 25 – 7 = 18
АС = АС – СА = 25 – 7 = 18
Треугольники АВС и АТМ подобны по двум пропорциональным сторонам и общему углу А. Составим соотношение сторон и найдём ТМ:
\frac{AT}{AB}=\frac{TM}{BC}\\\frac{18}{25}=\frac{TM}{14}
18·14 = 25·TM
252 = 25·TM
TM = 252/25 = 10,08
Ответ: 10,08.