На заводе имеется генератор с ЭДС ε = 50 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: I=\frac{ε}{r +R}. Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля – Ленца: P = I2R. Какова максимальная тепловая мощность P, которая может быть выделена нагрузкой?
Источник: fipi
Решение:
ε = 50 В
r = 1 Ом
Подставим все известные значения в 1-ю формулу и упростим её:
I=\frac{ε}{r +R}\\I=\frac{50}{1 +R}\\I\cdot (1 +R)=50\\I+IR = 50
Выразим из 2-й формулы значение R:
P=I^{2}R\\R=\frac{P}{I^{2}}
Подставим R в 1-ю формулу:
I+I\cdot \frac{P}{I^{2}} = 50\\I+ \frac{P}{I} = 50\:{\color{Blue} |\cdot I,I\neq 0} \\I^{2}+P=50I\\P=50I-I^{2}
Нужно найти максимальную тепловую мощность P. Найдём наибольшее значение функции P:
P = 50I – I2
Найдем производную функции:
P = 50 – 2·I
Найдем нули производной:
50 – 2·I = 0
50 = 2·I
I = 50/2
I = 25
Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:
Точка максимума I = 25, там и будет максимальное значение функции:
P(25) = 50·25 – 252 = 1250 – 625 = 625
Ответ: 625.