Прямая 𝑦 = 9𝑥 + 5 является касательной к графику функции 18𝑥2+ 𝑏𝑥 + 7. Найдите 𝑏, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.

Источник: mathege

Решение:

    В точке касания функции и прямой значения у равны:

18𝑥2 + 𝑏𝑥 + 7 = 9𝑥 + 5
18𝑥2 + 𝑏𝑥 + 7 – 9𝑥 – 5 = 0
18𝑥2 + (𝑏 – 9)·𝑥 + 2 = 0

    Точка касания единственная, уравнение должно иметь 1 решение, значит D = 0.

D = (b – 9)2 – 4·18·2 = 0
b2 – 18b + 81 – 144 = 0
b2 – 18b – 63 = 0
D = (–18)2 – 4·1·(–63) = 576 = 242

    В точке касания х < 1, значит b > 9 иначе при подстановке отрицательного х равенство не выполнится

18𝑥2 + (𝑏 – 9)·𝑥 + 2 = 0

    Получаем b = 21.

Ответ: 21.