Из точки A к окружности с центром O проведены касательная AM и секущая AC, проходящая через центр и пересекающая окружность в точке B, причём AB < AC. Найдите величину угла ∠ACM, если ∠MAC = 36°. Ответ дайте в градусах.
Источник: ЕГКР ЕГЭп2026 Московский пробник.
Решение:
AM – касательная к окружности ⇒ OM ⟂ AM ⇒ ∠OMA = 90°.
По условию ∠MAC = 36°. Т.к. AO и AC – одна прямая, то ∠MAO = 36°.
Рассмотрим треугольник ΔAOM. Сумма углов треугольника равна 180°:
∠MAO + ∠AOM + ∠OMA = 180°
36° + ∠AOM + 90° = 180°
∠AOM = 180° – 36° – 90°
∠AOM = 54°
Точки A, O, C лежат на одной прямой ⇒ ∠AOC –развернутый угол ⇒ ∠AOC = 180°, тогда:
∠AOM + ∠MOC = ∠AOC
54° + ∠MOC = 180°
∠MOC = 126°
В треугольнике ΔOMC радиусы: OM = OC ⇒ треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Сумма углов треугольника:
∠MOC + ∠OCM + ∠OMC = 180°
126° + 2·∠OCM = 180°
2·∠OCM = 54°
∠OCM = 27°
Т.к. точки A, O, C лежат на одной прямой,
лучи CA и CO совпадают:
∠ACM = ∠OCM = 27°
Ответ: 27.