Решение №2057 В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH− высота, AB=27, sinA=2/3.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH − высота, AB = 27, sinA = $\frac{2}{3}$ . Найдите AH.

Источник: mathege

Решение:

По основному тригонометрическому тождеству:

sin²A + cos²A = 1
cos²A = 1 – $(\frac{2}{3})^{2}$ = $\frac{5}{9}$

cos²A = $\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

Косинус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
В ΔАВС найдём АС:

$\cos A=\frac{AC}{AB}$

$\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{AC}{27}$

3·AC = 27·√5
AC = 9√5

В ΔАСH найдём АH:

$\cos A=\frac{AH}{AC}$

$\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{AH}{9\sqrt{5}}$

3·AH = √5·9√5
AH = 5·3 = 15

Ответ: 15.