В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐴 равен 17°, угол 𝐵 равен 46°, 𝐶𝐷 − биссектриса внешнего угла при вершине 𝐶, причем точка 𝐷 лежит на прямой 𝐴𝐵. На продолжении стороны 𝐴𝐶 за точку 𝐶 выбрана такая точка 𝐸, что 𝐶𝐸 = 𝐶𝐵. Найдите угол 𝐵𝐷𝐸. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐴 равен 17°, угол 𝐵 равен 46°, 𝐶𝐷 − биссектриса внешнего угла при вершине 𝐶, причем точка 𝐷 лежит на прямой 𝐴𝐵.

Источник: mathege

Решение:

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐴 равен 17°, угол 𝐵 равен 46°, 𝐶𝐷 − биссектриса внешнего угла при вершине 𝐶, причем точка 𝐷 лежит на прямой 𝐴𝐵.

    Сумма углов любого треугольника равна 180°. В ΔАВС найдём ∠АСB:

∠АСB = 180º – ∠А ∠В = 180º – 17º46º = 117º

    ∠АСВ и ∠ECB смежные их сумма равна 180°:

∠ECB = 180° – ∠АСВ = 180° – 117° = 63°

    ∠АВС и ∠DBC смежные их сумма равна 180°:

∠DBC = 180° – ∠АВС = 180° – 46° = 134°

    ΔDBC = ΔDEC, по двум сторонам и углу между ними (CD – общая, CB = CЕ, ∠BCD = ∠DCE, как углы образованные биссектрисой), значит соответствующие углы равны, в том числе:

∠E = ∠DBC = 134º

    Сумма углов четырёхугольника равна 360°. В DBCE найдём искомый ∠DBE:

∠DBE = 360º – ∠E – ∠DBC – ∠ECB = 360º – 134º – 134º – 63º = 29º

Ответ: 29.