Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите BC, если AD = 12, а углы C и D четырёхугольника равны соответственно 102° и 72°.
Источник: Ященко ОГЭ 2026 (36 вар.)
Решение:
Если M равноудалена от всех вершин выпуклого четырёхугольника ABCD, то его можно вписать в окружность с радиусами MA, MD, MC, MB. Сторона АD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности.
ΔDMC – равнобедренный, т.к. MD = МC, как радиусы, значит углы при основании CD равны:
∠D = ∠DCM = 72°
Найдём ∠МСВ:
∠МСВ = ∠C – ∠DCM = 102° – 72° = 30°
ΔBMС – равнобедренный, т.к. МС = МВ, как радиусы, значит углы при основании ВС равны:
∠МВС = ∠МСВ = 30°
Сумма углов любого треугольника равна 180°, найдём 3-й угол в ΔBMС:
∠ВМС = 180° – ∠МВС – ∠МСВ = 180° – 30° – 30° = 120°
Найдём радиус окружности:
R = d/2 = AD/2 = 12/2 = 6
Значит и МС = МВ = 6.
В ΔBMС по теореме синусов, найдём ВС:
\frac{BC}{sin\angle BMC}=\frac{MB}{sin\angle MCB}\\\frac{BC}{sin120^{\circ} }=\frac{6}{sin30^{\circ}}\\\frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{6}{\frac{1}{2}}\:{\color{Blue} |: 2}\\\frac{BC}{\sqrt{3}}=\frac{6}{1}\\BC\cdot 1=\sqrt{3}\cdot 6\\BC=6\sqrt{3}
Ответ: 6√3.