Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите BC, если AD = 10, а углы C и D четырёхугольника равны соответственно 110° и 65°.
Источник: Ященко ОГЭ 2026 (36 вар.)
Решение:
Если M равноудалена от всех вершин выпуклого четырёхугольника ABCD, то его можно вписать в окружность с радиусами MA, MD, MC, MB. Сторона АD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности.
ΔDMC – равнобедренный, т.к. MD = МC, как радиусы, значит углы при основании CD равны:
∠D = ∠DCM = 65°
Найдём ∠МСВ:
∠МСВ = ∠C – ∠DCM = 110° – 65° = 45°
ΔBMС – равнобедренный, т.к. МС = МВ, как радиусы, значит углы при основании ВС равны:
∠МВС = ∠МСВ = 45°
Сумма углов любого треугольника равна 180°, найдём 3-й угол в ΔBMС:
∠ВМС = 180° – ∠МВС – ∠МСВ = 180° – 45° – 45° = 90°
Найдём радиус окружности:
R = d/2 = AD/2 = 10/2 = 5
Значит и МС = МВ = 5.
В прямоугольном ΔВМС, по теореме Пифагора, найдём ВС:
МС2 + МВ2 = ВС2
52 + 52 = ВС2
25 + 25 = ВС2
2·25 = ВС2
ВС = \sqrt{2\cdot 25}
ВС = 5√2
Ответ: 5√2.