В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и АС соответственно равны 17, 12 и 8. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
Параллелограмм АВСD делится диагональю АС на два равных треугольника. ΔАВС = ΔАDС, SABCD = 2·SABC
Площадь треугольника можно найти по двум формулам:
S_{\Delta }=\frac{1}{2}ah=\frac{a+b+c}{2}\cdot R
ОК = 8 – будет являться радиусом окружности и высотой к стороне АС, построим ещё два радиуса ОР и OL, которые будут являться высотами к BC и AB.
Отрезки ОР и ОН будут лежать на одной прямой НР (т.к. BC||AD, OP⊥BC, OH⊥AD), которая является высотой параллелограмма АВСD и равна высоте треугольника АВС к стороне ВС.
Найдём высоту НР:
НР = ОР + ОН = 8 + 12 = 20
Тогда площадь треугольника АВС по первой формуле равна:
S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot 20=10\cdot BC
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника найдём АК:
АК2 = АО2 – ОК2
АК2 = 172 – 82 = 225
АК = √225 = 15
Если окружность вписана в треугольник, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны:
АК = AL = 15
BL = BP = x
CP = CK = y
Отсюда стороны треугольника АВС равны:
АС = 15 + y
AB = 15 + x
BC = x + y
Площадь треугольника по второй формуле равна:
S_{\Delta}=p\cdot R\\S_{ABC}=\frac{AC+AB+BC}{2}\cdot OK=\frac{15+y+15+x+x+y}{2}\cdot 8=\frac{2\cdot (15+x+y)}{2}\cdot 8=(15+x+y)\cdot 8=(15+BC)\cdot 8
Приравняем оба выражения для нахождения площади:
10BC=(15+BC)\cdot 8\\10BC=8\cdot 15+8BC\\10BC-8BC=8\cdot 15\\2BC=8\cdot 15 {\color{Blue} |: 2}\\BC=4\cdot 15\\BC=60
Найдём площадь параллелограмма АВСD:
SABCD = 2·SABC = 2·10·BC = 20·60 = 1200
Ответ: 1200.